令人注目的数学应用

令人注目的数学应用
黄亚贤
经济数学问题例说自1993年5月高考命题组提请注意数学的应用以后，?1995年全国高考文理科试题中又出现了一道关于淡水鱼养殖的市场预恻应用题，这是一道数学应用方面的好题。由于它是经济数学方面的问题，从而在建立社会主义市场经济新体制的今天，格外地引起大家的注目。

所谓经济数学问题，就是用数学方法来研究经济学的一些问题。如经济增长率、人口增长率等方面的国民经济问题；银行业务问题，证券市场问题，保险计算问题，消费与市场预测问题，投入产出问题，等等。上述问题中，能用中学生可以接受的初等数学方法解决的一些基础问题都应当引起我们的重视。

下面举几个例子。

例1某商品的市场需求量P（万件）?、市场供应量Q与市场价格x（元／件）分别近似地满足下列关系： P＝－x＋70； Q＝2x－20当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。

（1）求平衡价格和平衡需求量；

（2）若每件商品征税3元，求新的平衡价格；

（3）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？

解:

（1）易得平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件。

（2）设新的市场平衡价格为x元/件，此即为消费者支付价格，而提供者得到的价格则为（x一3）?元/件，依题意得－x＋70＝2（x－3）－20，从而解得新的平衡价格为32元/件。

（3）设政府给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格亦即消费者支付价格为x元/件，则提供者收到的价格为（x＋t）元/件，依题意得方程组－x＋70＝44 2（x＋t）－20＝44解之得 x＝26 t＝6例2某产品日产量为20台，?每台价90元，若日产量每增加1台，则单价就要降低3元，问如何设计生产，使日总收入最大？

解设每日多生产x台，总收入为y元，依题意得 y＝（90－3x）（20＋x）易得当日产量为25台时，总收入最大。

例3某厂今年初贷款100万元，复利计息，年利率为10％（即本年的利息计入次年的本金生息），计算从今年末开始每年偿还固定的金额，恰在第12年末还清，问每年偿还的金额是多少万元？（设1．112＝3）解设每年偿还的金额为X万元，依题意得： x＋x（1＋10％）＋x（1＋10％）2＋…＋x（1＋10％）11＝100（1＋10％）12解之得x＝15（万元）（江苏信息员朱文秀）""逻辑思维能力培养的层次化初探""逻辑思维能力培养的层次化初探小学逻辑思维能力的发展一般要经过以下三个阶段：即思维的形式以动作思维和形象思维为主的基础阶段；思维的形式以形象思维和抽象思维配合互惠，相辅相成的过渡阶段，以及思维逐渐摆脱具体实际经验，能撇开具体例子也能掌握事物的内涵的逐步成熟阶段。小学阶段正是学生逻辑思维能力发展的过渡阶段。

教学中，我们只有以基础为起点，以过渡为重点，增强学生逻辑思维能力的层次化培养意识，才能有效地促进学生技能的提高，能力的发展。下面谈谈学生逻辑思维能力培养的层次化应体现的几个方面：

1．教学时首先要加强直观性，应注意三多：①多直观演示。理性的思维是少不了感性支持的。对于小学生而言，没有足够的感性材料作基础，任何抽象与概括皆“寸步难行”，因此教学时要求教者以直观演示等形式来增强学生的感性认识。

如没有“黄沙装倒”的演示实验，显然学生难以领会等底等高的圆柱体积与圆锥体积的3倍关系。②多让学生动手。如三角形面积公式的获取，没有学生亲自动手拼凑，就对公式中的“1/2”的含义理解不深，也就容易导致应用上对“1/2”的遗忘。成功的教学，应加强这一实践环节。③多联系实际。如对于长方体的认识，教者首先提供保健箱、牙膏盒等实物让学生充分感知，尔后让学生例举长方体的实物。

在充分联系实际的基础上归纳其特征，水到渠成。其次要逐步提高要求，确保思维能力逐步发展。如对于应用题数量关系的分析，低年级得借助实物理清数量关系，随着认识水平的提高，思维抽象能力的增强，分析的凭借方式必须逐渐为实物图、线段图所取代，发展到最后完全脱离这一直观手段。这样的变化过程正迎合了思维能力发展渐进性的特点。如果学生的思维发展到一定阶段，还不及时提高要求，仍停留于实物的摆弄上，无疑阻碍了抽象思维的应有发展。注意了这两点，就能确保思维能力稳步地发展，顺利地实现过渡。

2．突出形成性。小学生逻辑思维能力的形成与发展是一个循序渐进的过程，只有呈现思维形成的轨迹，才能便于学生操作，引导学生逐渐获取思维的方法，进而实现内化，强调形成性，首先反映在一个知识点的教学中，概念教学的层次性正是这一要求的产物。一般地，一个概念的掌握是有层次的。比较和辨认事物的属性是掌握概念过程的开端，但这一辨认只能是个体的直接感知，是为下一步的抽象概括创造条件。第二阶段，是共同属性归类，它是导向掌握概念的重要环节。第三阶段本质属性分类，这是掌握概念的关键。只有能撇开所有非本质属性，保留纯粹的本质属性，才算初步掌握概念。引导学生寻求这类数共有的本质属性；在具体问题情境中广泛应用，促使认识升华。这样教学，层次分明,既利于学生猎取新知,又能切实地提高其思维水平。其次反映在一类知识的教学中。如“三角形面积公式”与“梯形面积公式”的推导，其基本思路是一致的，都是转化成平行四边形后导出面积公式的。因此在教学三角形面积时，指导要相对详尽些，让学生感知其推导方法，而在推导梯形面积公式时，教者只需稍加点拨，学生就能在试试中巩固推导方法。学生亲自设计、参与思维的过程。因而加快了思维的内化。

这样的教学安排，既促进了认识结构的组建，又有力推动了思维层次的深入。

3．由于学生吸收知识量的多少与所受训练的不同，导致发展上的不平衡性。

我们的目标是让好的学生有听发展，中等有所提高，差的跟上一般，尤其要对低能儿倍加青睐，给予悉心指导。一边要补上知识缺陷，知识是能力的基础，没有必备的认识，很难想象能进入相应的思维层次。一边增多思维训练的机会，训练起点应适度放低。增多形象的成分、放慢思维的节奏，提出简单的问题。皆是有效之法。

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